Newton, Leibniz e il calcolo infinitesimale - uno scontro tra visioni del mondo

Per Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) non furono erette statue o monumenti. Pochi, anzi pochissimi, parteciparono al suo funerale, benché fosse stato per tutta la vita vicino agli alti vertici dei nascenti stati nazione, e sebbene per decenni avesse svolto l’incarico di storico dell’allora casata di Hannover. Dieci anni più tardi, la morte di Isaac Newton (1642-1726) sortì tutt’altra reazione: al funerale presenziò persino Voltaire, poco più che trentenne, e che di lì a pochi anni avrebbe scritto gli Elements de la philosophie di Newton (1738), diventando, al ritorno dal suo esilio in Inghilterra,1 il principale divulgatore del pensiero newtoniano sul continente. Cinquant’anni più tardi l’architetto francese Étienne-Louis Boullée (1728-1799) realizzò in onore di Newton i sei disegni del fantaprogetto del cenotafio. Con lobbiettivo di «donare a Newton limmortale luogo di riposo, il paradiso»,2 Boullée progettò una colossale cupola alta circa centocinquanta metri adagiata su di una zona dappoggio adornata dalberi perfettamente allineati, impossibile da realizzare tecnicamente.

L'accesa rivalità tra due dei più eminenti filosofi e scienziati del proprio tempo è stata spesso semplificata e ridimensionata a una mera contesa. Il che ha comportato la riduzione del problema al solo tentativo di stabilire chi dei due sia giunto per primo alla formalizzazione del calcolo infinitesimale. La morte e i funerali a volte bastano per dichiarare un vinto e un vincitore. Lo scontro tra nazioni – e la correlata tendenza a prendere posizione da una parte o dell’altra dello stretto di Dover, e dunque a stare con Parigi o con Londra – ha ulteriormente alimentato tali opposizioni riduttive.

Dopo più di un millennio in cui il calcolo della superficie e del perimetro di figure curve si era accontentato dell’antico metodo d’esaustione, e dopo i primi vagiti di una nuova matematica che aveva preso forza a cavallo tra il sedicesimo e diciassettesimo secolo, Leibniz e Newton rappresentarono per l’Europa d’allora gli inventori dell’ analisi infinitesimale che permetteva, a partire dalla curva, il calcolo dell’ «equazione tangente e il valore della sua curvatura in un punto generico, […] la tangente, massimi e minimi»3 tramite ciò che Leibniz chiamò «rapporto differenziale» e Newton «calcolo delle flussioni».

In effetti, tra i due ci fu una contesa circa la paternità del calcolo. Il filosofo di Lipsia sosteneva di aver sviluppato il fulcro delle proprie scoperte ben prima dell’inglese, mentre quest’ultimo affermava di aver consegnato al tedesco una lettera, passata tra le mani dell’amico in comune Oldenburg, dove per la prima volta dimostrava le proprie scoperte.4 Mentre Newton aveva sviluppato il grosso della propria teoria già nel 1669, Leibniz iniziò ad ottenere dei risultati non prima del 1672, pubblicando le prime scoperte nel 1676. Nel 1711, per dirimere la disputa, fu chiamata in causa come parte giudicante la Royal Society, di cui lo stesso Newton era Barone dal 1715. Ne risultarono il Commercium epistolicum (1715) e la Recensio Libri, quest’ultima pubblicata anonimamente ma scritta con ogni probabilità dal fisico inglese, e in cui si condannava definitivamente Leibniz sotto gli occhi di tutto il mondo accademico del tempo.5 Newton, si diceva, aveva inventato il nuovo calcolo infinitesimale.

Riannodiamo i fili, la disputa tra Leibniz e Newton fu, semplicemente, una contesa? La sociologia delle scienze e delle tecnologie ci ha recentemente fornito un’interpretazione originale del concetto di controversia.6 Rivolgiamolo dunque al nostro caso. Ciò che accadde tra Leibniz e Newton fu una contesa o una controversia? Cambia qualcosa?

L’indicazione di Enrico Giusti è rivelatrice: «chi legge i documenti relativi alla disputa fra Leibniz e Newton circa l’invenzione del calcolo infinitesimale, […] ha l’impressione che si stia svolgendo un dialogo tra sordi».7 Non tanto perché i due non si siano voluti ascoltare, il che trasformerebbe nuovamente l’evento in una contesa. Per quanto comunichino e si attacchino, essi non paiono disquisire del medesimo oggetto. Il problema non è certo che «non si è mai capaci di parlare della stessa cosa». Piuttosto, ricostruendo il nugolo di considerazioni intorno al «calcolo infinitesimale» nell’uno e nell’altro autore, e al di là della disputa ufficiale, non ci troviamo più davanti a due oggetti simili che, in fondo, sono conciliabili. Simili - scrive sempre Giusti - «ma irrimediabilmente diversi».8

Se a parità di calcolo le due formulazioni restituiscono risultati pratici sostanzialmente sovrapponibili - dunque a parità di esattezza matematica - concettualmente sono in aspro contrasto, se non addirittura incompatibili. Finché ci si focalizza soltanto nello stabilire la paternità del calcolo, tutta la questione appare come una semplice contesa. Questa peculiarità del concetto di controversia è stata forse sottostimata: perché non ci sia controversia, basta non porsi la questione. Altro lato della medaglia: perché non ci sia controversia, basta ridurla a una contesa, alla morte dell’uno e al trionfo dell’altro, come d’altronde si premurò di fare l’esegesi illuminista che aveva infervorato Voltaire e Boullée, e che avrebbe spinto Immanuel Kant (1724-1804) a essere molto più newtoniano che leibniziano.

Ciò detto, rimane da risolvere il problema inverso. Supposto che una controversia possa differire da una contesa, bisognerà stabilire il senso di questa differenza. Se tra Leibniz e Newton avvenne una contesa, ci riduciamo a determinare storicamente chi è giunto per primo a ciò che chiamiamo «analisi infinitesimale». Il modo della relazione è già definito, ciò che resta da stabilire è unicamente la priorità cronologica di un attore sull’altro. Se, diversamente, tra i due ci fu una controversia - e qui ci viene in soccorso l’etimo della parola - ciò che v’è da stabilire è proprio il modo della relazione dell’uno e dell’altro: in una contesa ci si muove verso l’oggetto comune, in una controversia il moto è appunto «contrario» l’uno rispetto all’altro, per «versi» differenti. Ecco una seconda peculiarità: se il concetto di contesa è fin troppo generalizzabile - tutto può diventare contesa -, il concetto di controversia sembra perdere qualcosa di vitale laddove dovesse venire generalizzato. Una relazione già definita, come quella di contesa, è ipso facto generalizzabile. Al contrario, laddove si debba ancora definire il modo della relazione, non c’è alcunché di generalizzabile, se non tramite una semplice accezione negativa. Infatti, propriamente parlando, che si dica che due elementi sono in rapporto di controversia, è affermare che non è definito il modo di quel rapporto di direzione contraria dell’uno rispetto all’altro.

Torniamo dunque ai contendenti. Dei due, Leibniz è meno ambiguo sul posizionamento generale del calcolo all’interno del suo più ampio sistema di pensiero. Come hanno mostrato Gilles Deleuze ne La piega (1988) e Michel Serres nei due tomi de Le système de Leibniz et ses modèles mathématiques (1968), il rapporto differenziale dx/dy in combinazione con alcune considerazioni circa le serie convergenti, ossia tendenti verso un limite comune, rappresentano due principi ineliminabili dell’intero sistema matematico-metafisico del filosofo tedesco. A tal proposito, Ludovico Geymonat ha sostenuto, nel suo corso sulla Storia e filosofia del calcolo infinitesimale (1946-1947), che «mentre in Newton l’invenzione del calcolo infinitesimale fu dettata da preoccupazione essenzialmente tecniche, in Leibniz invece essa scaturì da considerazioni essenzialmente filosofiche».9 Il tedesco immaginava un fuscum subnigrum animato e in constante variazione. L’ha ripetuto Michel Serres nel Parassita, «il rumore di fondo è il fondo dell’essere».10 La monade è imperscrutabile qualora non considerassimo ciò che ha rimarcato Deleuze, se «le monadi non hanno finestre, attraverso le quali qualcosa possa entrare o uscire»,11 come recita la famosa VII proposizione de La monadologia, è perché tra monade e mondo c’è un rapporto di rispecchiamento reso possibile proprio dalle considerazioni di Leibniz circa il rapporto differenziale. Il calcolo di Leibniz - scrive sempre Deleuze - è inseparabile da un’anima: se il mondo è una serie infinitamente infinita di cui la monade è l’inversa, la coscienza funziona per integrazione di rapporti differenziali. Se un’infinita schiera di piccole percezioni inconsce si integrano tra di loro - ossia entrano in un rapporto differenziale convergente - divengono coscienti.12 Di conseguenza la soglia della coscienza non è l’effetto di un rapporto differenziale, bensì è il rapporto stesso, un «ripiegamento del mondo», una piega, o come annotava Leibniz nei Principi razionali della natura e della grazia «se fosse possibile dispiegare tutte le pieghe dell’anima, le quali tuttavia si esplicano in maniera evidente solo nel tempo, si potrebbe conoscere la bellezza dell’universo in ciascuna anima. Infatti ogni percezione distinta dell’anima contiene uninfinità di percezioni confuse che implicano tutto luniverso».13

Che dire di Newton? L’analisi infinitesimale ha una posizione ambigua. Se da un lato Newton sostenne sempre la finalità pratica del calcolo, e dunque la parziale estraneità dello strumento rispetto al reale, una ricognizione di ciò che scrisse in fatto di teologia e fisica[14] - caso paradigmatico è lo scolio generale che chiude i Principia[15] - rivela, in fondo, il tentativo di armonizzare la realtà stessa a quello che doveva essere un semplice «calcolo pratico». Insomma, diversamente da come si è ripetuto fino allo sfinimento, e a partire dalle accuse di oscurantismo e filosofeggiamenti che Newton mosse a Leibniz,16 chi dei due sia stato il vero empirico è tutto da vedere. Per riassumere nel modo più contratto la differenza sostanziale, si potrebbe affermare che mentre il sistema di Leibniz, inteso come immagine del reale, postula l’infinito in actu, implicato, come ragion sufficiente del sistema stesso, la teoria di Newton, rappresentazione della realtà-pratica, ostracizza l’infinito a favore dell’atomo e delle quantità «infinitamente piccole» che, tuttavia, rimangono «estese».17 Quello dell’inglese è un calcolo di flussioni, ossia dei movimenti di un punto per grandezze infinitamente piccole. E tuttavia, quest’ultimo sarà obbligato a reintrodurre ciò che aveva precedentemente escluso, così che il materialismo atomistico affermato con tanta dissimulata leggiadria venga calmierato reintroducendo un finalismo che ne giustifichi lunità di base. Lo chiamerà Dio poiché, come confidava in una lettera a Bentley, «il materialismo granulare non potrebbe in alcun modo ‘trasformare il caos in un cosmo’». Per Leibniz, contrariamente, l’atomismo scevro d’infinito è una semplice «debolezza dell’immaginazione»:18 dev’esserci, in fondo, un punto animato. Come ha scritto il sociologo Gabriel Tarde in Monadologia e sociologia (1895), «perfino nella parte solida, se la conoscessimo meglio, dovremmo eliminare quasi tutto. E così di eliminazione in eliminazione, dove arriveremo mai, se non al punto geometrico, cioè al punto nullo, a meno che questo punto non sia un centro?»[19]


NOTE

1 Com’è noto la figura di Pangloss, maestro filosofico di Candido, è una parodia del pensiero di Leibniz. Come si legge in “Candido o l’ottimismo” in Voltaire, Vol. II, tr. it. P. Angioletti, e M. Grasso, RBA, Milano 2017, p. 216, Pangloss, insegnante di «metafisico-teologo-comolonigologia provava in modo ammirevole come non potesse esistere effetto senza causa, e come nel migliore dei mondi possibili il castello del monsignor barone fosse il più bello dei castelli, e la signora la migliore di tutte le baronesse».

2 Da Etienne-Louis Boullée, Architecture: Essai sur l’Art , trans. Sheila de Vallée, in Helen Rosenau, Boullée and Visionary Architecture (London: 1976) in P. L. Ricci, Lux et tenebris: Etienne-Louis Boulé’s Cenotaph for Sir Isaac Newton.

3 L. Geymonat, Storia del pensiero filosofico. scientifico, Vol. II, Garzanti editore, Milano 1970, p. 378.

4 Si veda il recentemente ripubblicato Disputa Leibniz-Newton sull’analisi, a cura di G. Cantelli, Bollati Boringhieri editore, Torino 2023.

5 Per approfondire la successione cronologica degli eventi si veda A. R. Hall, Philosophers at war, Cambridge University Press, 2009.

6 H. M. Collins, T. Pinch, Il Golem (1993), Dedalo, Bari 1995.

7 E. Giusti, “Introduzione”, in Disputa Leibniz-Newton sull’analisi, cit., XIII

8 Ibidem.

9 L. Geymonat, Storia e filosofia dell’analisi infinitesimale, Bollati Boringhieri editore, Torino 2008, p. 141.

10 M. Serres, Il Parassita (1980), Mimesis edizioni, Milano 2022, p. 77.

[11] G. W. Leibniz, Monadologia, Bompiani editore, Milano 2017, §7, p. 61.

12 Per il rapporto tra coscienza e inconscio differenziale si veda il capitolo VII, “La percezione nelle pieghe” in G. Deleuze, La piega (1988), Giulio Einaudi editore, Torino 2004, pp. 139-162.

13 Ivi, “Principi razionali della natura e della grazia”, §13, p. 51.

14 Si veda I. Newton, Trattato sull’apocalisse, a cura di M. Mamiani, Bollati Boringhieri editore, Torino 2022.

15 Geymonat ne parla in Storia del pensiero filosofico e scientifico, Vol. II, Garzanti editore, Milano 1970, p. 524.

16 Scriveva Newton ne lo Scolio, «infatti qualsiasi cosa non si riesca a dedurre dai fenomeni, deve chiamarsi ipotesi; e tutte le ipotesi, siano esse della metafisica, della fisica, della meccanica o delle qualità occulte, non hanno posto nella filosofia sperimentale». Nelle battute conclusive della recensio libri si legge “Si deve senza dubbio ammettere che fra Newton e Leibniz sussiste un enorme differenza nel modo di trattare la filosofia. Il primo procedere solo fin dove lo conduce levidenza dei fenomeni e delle esperienze, [...] il secondo è tutto imbevuto di ipotesi, che avanza non già come proposizioni da doversi esaminare con lesperienza, ma che verità cui si deve credere a occhi chiusi”, Cantelli, p. 80.

17 Scrive Newton nello Scolio generale dei Principia, riportato da L. Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico, Vol. II, cit., p. 522, «l’estensione, la durezza, l’impenetrabilità, a mobilità e la forza d’inerzia delle part del tutto nasce dall’estensione, la durezza, l’impenetrabilità, dalla mobilità e dalla forza d’inerzia delle parti: di qui concludiamo che tutte le minime parti di tutti i corpi sono estese e Dre, impenetrabili, mobili, e dotate di forza d’inerzia. E questo è il fondamento dell’intera filosofia»

18 G. W. Leibniz, Nuovo sistema della natura e della comunicazione delle sostanza e dellunione tra lanima e il corpo” (1695), in Scritti Filosofici, vol. I, cit., p. 190, §3.

19 G. Tarde, Tarde, Monadologia e sociologia (1895), tr. it. F. Domenicali, Ombre corte, Verona, 2013, p. 45.


Mai fidarsi della bellezza - Inganni e illusioni di un criterio scientifico

La bellezza può essere una splendida guida per lo sviluppo di formalismi matematici, ci suggerisce in questo blog Matteo Donolato (Che bella equazione! – Il ruolo della bellezza nelle scienze) seguendo il pensiero di P. Dirac.

Ai fisici teorici, in particolare, piace maneggiare teorie e oggetti matematici “belli”, addirittura considerano l’eleganza come un criterio di successo delle formulazioni teoriche, delle spiegazioni della realtà, delle descrizioni dei sistemi fisici.

Tuttavia sembra necessario essere cauti, perché a volte la bellezza matematica può nascondere dei tranelli.

Un bel formalismo matematico, infatti, ha il pregio di rendere la descrizione della realtà più semplice, più maneggevole, apparentemente più efficace e più elegante, ma, spesso, non rappresenta la realtà nel suo modo di essere effettivo, nei suoi comportamenti fenomenici.

Proviamo a fare qualche esempio:

  • Il primo può essere l’identità di Eulero: è bellissima, compatta e semplice; comprende una serie di elementi che ricorrono in tutte le matematiche e geometrie – euclidee e non – ma, poiché è un’identità, non significa altro che un oggetto è identico a sé stesso, seppur descritto in modi diversi.

Esattamente come Hesperus e Vesperus, la stella del mattino e la stella della sera; nomi diversi per la stessa cosa, vista da angolazioni diverse, ma pur sempre una e una sola cosa è: il pianeta Venere.

L’identità di Eulero racconta di come la bellezza matematica possa diventare un formalismo di nessuna utilità nella pratica scientifica e applicativa.

È opportuno ricordare Husserl[1], quando accusava Galileo e, con lui, molta scienza della modernità, di realismo metafisico, di aver dimenticato – inseguendo i formalismi idealizzati – il contatto con il mondo delle cose reali.

Un secondo esempio – dobbiamo però per un attimo dimenticare che è stato falsificato nel ‘600 – è il modello geocentrico aristotelico-tolemaico dell’universo con la terra, con noi/io al centro di tutto. Cosa c’è di più bello, simmetrico, elegante, appagante, soprattutto per chi lo ha disegnato, di questo modello? Secondo il punto di vista antico  era anche efficace nella rappresentazione della realtà. In parte anche per il nostro punto di vista: nella nostra esperienza quotidiana, non pare anche a noi di essere fermi, con il cielo che ci gira intorno?

Come sappiamo, però, questo schema non ha retto il confronto con i paradigmi successivi; per cui, è “caduto” ed è stato sostituito da un altrettanto elegante modello (quello di Newton) basato su un formalismo matematico, anch’esso, come ci dice Matteo Donolato, di grande bellezza: la legge della gravitazione universale.

Ecco, quindi, il terzo esempio: la legge di gravitazione universale si basa su un “oggetto scientifico”[2] misterioso e mai dimostrato: la forza di attrazione gravitazionale, cioè un’azione a distanza tra due corpi macroscopici.

“Oggetto” che è stato a sua volta sostituito, nella teoria della relatività, dalla nozione di campo gravitazionale. Che fa a meno della forza.

Il quarto ed ultimo esempio di bellezza teorica e matematica, nel campo della fisica delle particelle, è la Teoria supersimmetrica delle stringhe (o supersimmetria); questa teoria è in grado – grazie a dei formalismi matematici giudicati molto eleganti da quasi tutti i fisici – di descrivere il mondo dei bosoni e dei fermioni, e converge nella Teoria del Tutto: un tentativo di unificazione delle teorie quantistica e relativistica.

La “supersimmetria” – teoricamente – permetterebbe anche di aver a che fare con quantità e numeri vicine all’unità, che molti fisici definiscono “naturali”; e di evitare di far uso del cosiddetto “fine tuning”, cioè di aggiustamenti della teoria – assimilabili alle cinture di protezione di Lakatos – a fronte di casi particolari e risultati non allineati con le previsioni.

La teoria della supersimmetria, però, non sembra dare frutti sperimentali. Nessuno dei suoi risultati riesce a essere testato, con ovvio fastidio dei fisici che hanno puntato sulla sua produttività potenziale.

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Al contrario, possiamo fare degli esempi di formalismi “non così belli” che – almeno per ora – sono di successo e (abbastanza) testati sperimentalmente.

Il modello che descrive una cosa apparentemente banale come i pennacchi di fumo (avete presente quelli che escono dalle ciminiere?) è costituito da un sistema di equazioni che - già in una approssimazione semplificata - riempiono almeno due pagine di un normale libro di testo – solo come formalismo matematico.

Purtroppo, un pennacchio di fumo non può essere descritto con formule prese dalla geometria solida; è, invece, un oggetto di grandissima complessità in cui compaiono più di un centinaio di fattori e termini e ancora non ne è descritta completamente la struttura. È più brutta di un orco delle favole. Ma funziona piuttosto bene.

In fisica delle particelle, il "Modello standard", teoria che resiste da alcuni anni e che ha numerosi riscontri sperimentali – non ultima la rilevazione del bosone di Higgs, previsto anni prima e ora “trovato” e misurato sul campo – è abbastanza orribile, se misurata con il criterio della bellezza e dell’eleganza: più di 25 particelle “elementari”, tra cui: 6 fermioni detti quark; 8 gluoni privi di massa; 6 leptoni, che non partecipano alle interazioni forti; il fotone; 3 bosoni massivi; in ultimo il bosone di Higgs, massivo, neutro elettricamente e funzionale a dare massa a fermioni e bosoni. Tutti questi suddivisi in tre generazioni, in funzione della massa; inoltre, le generazioni non sono definite da criteri matematici a priori ma solo dalla necessità di “far funzionare” il modello (se mi si passa la semplificazione). “Vi delude che il modello standard sia così brutto?” dice Sabine Hossenfelder[3]

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Sembra, quindi, estremamente pericoloso per i fisici, per i naturalisti - e direi persino per gli economisti - che desiderano descrivere in maniera realistica l’universo, affidarsi a dei formalismi molto belli.

Pericoloso perché il mondo e l’universo, nel loro presentarsi sono per lo più disuniformi, presentano continuamente singolarità, sfuggono al principio di omogeneità.

I casi eleganti come, ad esempio, le strutture polimorfe oggi chiamate frattali, sono eccezioni notevoli; tanto che uno strutturalista nato nella matematica come Roger Caillois, li presenta e li esalta proprio come eccezionalità, come fenomeni notevoli.

I salti, le catastrofi, le singolarità, sono la norma della realtà.

In fisica e nelle scienze naturali è meglio non fidarsi - e non affidarsi - alla bellezza matematica.
Si rischia di perdere la strada…

 

 

NOTE

[1] E. Husserl, La crisi delle scienze europee e la fenomenologia trascendentale, Il Saggiatore, Milano, 2015

[2] L. Daston, Biographies of scientific objects, The University of Chicago Press, Chicago and London, 2000

[3] S. Hossenfelder, Sedotti dalla matematica, Raffaello Cortina Editore, Milano, 2019, pag. 182


La matematica e la logica sono istituzioni sociali.

Il sociologo britannico David Bloor (n. 1942) nel 1976 pubblicò un libro, Knowledge & social imagery [1],  che segnò una svolta nella sociologia della scienza. Al suo interno egli si interessa di quelle che vengono comunemente ritenute discipline che hanno una natura cogente, che rispecchiano verità uniche e immutabili: la matematica e la logica. Con l’obiettivo di arrivare al nocciolo (che lui ritiene profondamente sociale) della conoscenza matematica:

«l’idea che la matematica sia variabile, allo stesso modo dell’organizzazione della società,
viene considerata da molti sociologi un’enormità»[2].

Eppure, già il filosofo, storico e scrittore tedesco Oswald Sprengler, nel suo famosissimo Il tramonto dell’Occidente (1918), e Ludwig Wittgenstein, nel difficile Osservazioni sopra i fondamenti della matematica (1956), avevano ipotizzato una connessione tra mondi di numeri e mondi di civiltà.

Anche il matematico, logico e filosofo tedesco Gottlob Frege, ne I fondamenti dell’aritmetica nel 1884, aveva argomentato che la matematica (contrariamente alla posizione di John Stuart Mill, presentata in Sistema di logica raziocinativa e induttiva del 1843) non era una scienza induttiva, nel senso che non si basava sull’esperienza, cioè su operazioni fisiche sugli oggetti. L’idea di Mill poteva tutt’al più essere utile pedagogicamente, ossia a insegnare ai bambini ad apprendere la matematica attraverso la manipolazione di oggetti (sassolini, granelli di pepe, biglie ecc.).

Frege sostiene che i numeri non sono esperienza: chi ha mai avuto esperienza dello zero («zero sassolini») o di numeri estremamente grandi come 10.000.000.000? Avere esperienza di «una cosa», non significa avere esperienza del numero 1, dice Frege. I numeri naturali (0, 1, 2, 3 ecc.) servono per numerare, ma non si identificano con le cose numerate. Infatti, hanno proprietà che non si trovano nella cosa numerata (es. il pari o il dispari), che non si vedono né si toccano, mentre si vedono e toccano le cose a cui essi si riferiscono. Allo stesso modo è difficile sostenere che i numeri ‘immaginari’ (es. 2i), che nascono dal fatto che non è possibile calcolare la radice quadrata di un numero negativo, e i numeri ‘complessi’ (dati dalla somma di una parte reale e una immaginaria - es. 5 + 2i) siano astrazioni ottenute da cose reali.

E anche il matematico tedesco Richard Dedekind, nel suo Essenza e significato dei numeri (1888), riteneva i numeri libere creazioni dello spirito umano, del tutto indipendenti dalla realtà, e un’emanazione diretta delle pure leggi del pensiero.

Come sottolinea il matematico italiano Enrico Giusti (1999) anche gli oggetti della geometria euclidea (retta, piano, lunghezza, area, cerchio, angoli, ecc.) non provengono dall’astrazione di oggetti reali, esterni, indipendenti dall’osservatore, ma da un processo di oggettivazione delle procedure, di pratiche sociali che formalizzano l’operare umano (come tracciare un cerchio sul terreno usando una corda ecc.). La matematica si sviluppa mediante il ripetersi di una sorta di modulo che porta a «fissare», e quindi a far esistere, gli oggetti matematici. Questo avviene in tre fasi: inizialmente vengono introdotti nuovi strumenti, metodi dimostrativi originati da idee innovative; poi essi diventano soluzioni di problemi e insieme oggetti di studio; infine, se vengono accettati, acquistano una vera e propria esistenza oggettiva.

Lo stesso sostiene Bloor (1976/1994, p. 143-4):

i tessitori di tappeti imparano a riprodurre un modello osservando e lavorando con gli altri. Dopo di che possono lavorare autonomamente e applicare più e più volte la tecnica a nuovi casi. Potrebbero, per esempio, mettersi a tessere il tappeto più grande che si sia mai visto: a loro basta solo aver imparato ed essersi esercitati su quelli piccoli.
Questa è la natura delle tecniche.
Analogamente, una spiegazione dell’aritmetica può basarsi su un’esperienza di portata limitata, a condizione che l’esperienza fornisca modelli, procedure e tecniche che possano essere applicati
o riprodotti all’infinito
.

Certamente la matematica non nasce dall’esperienza e dalla percezione (come già sosteneva Frege), ma viene inventata.

Tuttavia, secondo Bloor, essa non è solo un’invenzione (un gioco formale, mentale, puramente soggettivo) senza rapporti con la realtà circostante, perché essa nasce da necessità, da una manipolazione empirica.

In altri termini, essa è un’invenzione sociale, una costruzione (quindi con una certa dose di arbitrarietà) basata su pratiche. Gli enti matematici hanno, quindi, la natura di costrutti ideali, che trovano però un fondamento in una concreta prassi umana che col tempo si stabilizza e si generalizza nella forma di soluzione di problemi.

Bloor, quindi, da una parte accetta la posizione di Frege; dall’altra la porta alle estreme conseguenze, criticando lo stesso Frege e rivalutando e correggendo Mill (che aveva parlato della matematica anche come realtà soggettiva, psicologica): se i numeri non sono basati su una realtà empirica bensì su nozioni teoriche (altamente elaborate, le più fini e le più pure che mai mente sia riuscita a pensare), da dove vengono queste nozioni? Se non dalla natura, allora dalla cultura: «la componente teorica della conoscenza è proprio la componente sociale»[3].

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Bloor comincia quindi, fenomenologicamente, a immaginare una matematica alternativa[4] in cui gli esiti delle operazioni dovrebbero produrre sistematicamente risultati diversi. In questa idea apparentemente assurda, egli trova conforto nella matematica greca antica, dove il numero 1 non era considerato un numero. Non era neppure pari o dispari; esso era entrambi, cioè parimpari, perché era considerato il punto di partenza, il generatore dei numeri (1+1=2; 1+1+1=3 ecc.), sia dei pari che dei dispari, per cui partecipava di entrambe le nature (pp. 155-6). All’interno di questa visione, l’1 è anche il numero più grande perché contiene tutti gli altri numeri; è inoltre il numero con il più alto numero di relazioni/rapporti con gli altri numeri, perché tutti i numeri partono da lui e sono scomponibili nell’unità minima che è 1. Infine, l’1 è la totalità, la parte più grande: se si scompone/taglia l’1 (es. 1 torta), le parti che emergono (2, 3, 5 ecc.) sono più piccole dell’1 interezza o totalità. Peraltro, etimologicamente il numero 2 sembra derivi da «taglio».

La matematica dei pensatori pitagorici e, successivamente, dei platonici era di tipo catalogatorio e riecheggiava le classificazioni in uso nella vita quotidiana. Tale “schema di classificazione simboleggiava la società, la vita e la natura [...] I vari tipi di numeri ‘stavano per‘ proprietà come la Giustizia, l’Armonia e Dio“ (p. 169). Era una matematica applicata, usata per questioni pratiche e carica di magia: per esempio i Pitagorici consideravano il 2 un numero femminile, come tutti i numeri pari, e il numero 10 era collegato alla salute e all’ordine del cosmo. Un po’ come la smorfia napoletana[5] oppure il simbolismo numerico nella Bibbia, dove (ad esempio) il 3 era la perfezione (mentre la stessa, per i Maya, era rappresentata dal 4). Il 4 nel Medioevo era considerato un numero perno e risolutore (quattro sono i punti cardinali, i venti principali, le stagioni, le fasi lunari, le arti liberali del quadrivio, i lati del quadrato a cui veniva paragonata la Terra, in opposizione al triangolo del cielo, simbolo della Trinità). Inoltre, 4 è il numero della perfezione morale e delle proporzioni dell'uomo. Il 7 è il numero buddhista della completezza.

Bloor quindi ha trovato una matematica alternativa: “è chiaro che se non riconosciamo il misticismo del numero come una forma di matematica, nessuna questione di matematica alternativa può essere posta [...] esso rende tautologico il fatto che non via sia una matematica alternativa»[6]. Quindi la matematica non ha una vita propria o un significato intrinseco racchiuso negli stessi simboli che devono essere solo percepiti e compresi[7].

Bloor si chiede: la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale (1.41421 35623…), come sostengono i moderni, oppure non è per niente un numero, come dicevano gli antichi greci? Nessuna dimostrazione giungerà a risolvere la questione perché si tratta di visioni matematiche incommensurabili, il cui «significato [non] risiede sulla carta o nelle procedure simboliche del calcolo stesso»[8]. Occorre che esistano determinate condizioni sociali, cioè un sistema di classificazioni e un insieme di significati culturalmente condivisi, perché il calcolo abbia un significato[9].

Quindi il numero è un ruolo[10], una posizione da non confondersi con l’oggetto che incontra stando in quel ruolo. Ma se parliamo di ruoli, posizioni, allora ci troviamo nel campo della sociologia e i numeri possono essere tranquillamente definiti delle istituzioni sociali: «se la matematica riguarda i numeri e le loro relazioni e se queste sono prodotti e convenzioni sociali, allora, effettivamente, la matematica riguarda qualcosa di sociale»[11].

Citando le conclusioni a cui giunge il filosofo (di origini lettoni) Jacob Klein, studioso del pensiero matematico greco, Bloor sostiene che «attribuire alla nozione di numero una tradizione di significato unica e ininterrotta sia un errore [...] la continuità che noi vediamo nella tradizione della matematica è artificiale. Deriva dal fatto che attribuiamo il nostro stile di pensiero a opere precedenti»[12].

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Per concludere, e rafforzare l’idea di un nucleo sociale della matematica, possiamo notare che i numeri raramente vengono usati in forma pura o astratta. Più spesso appaiono sempre insieme a un referente: “possedere 5 case”, “decidere in 2”, “conservare 10 lingotti”.

Il referente è il motore dell’interpretazione, del giudizio, dell’invidia o risentimento. Inoltre, a seconda del referente, possono perdere la loro natura cardinale: avere 3 figli non vuol dire avere 3 volte 1 figlio e non è come avere 3 sassolini o 3 fagioli.

La dinamica sociale, nel primo caso, si mostra in tutta la sua pregnanza: se si hanno 3 figli contemporaneamente si devono affrontare dinamiche molto diverse dall’avere 3 figli a distanza: l’organizzazione sociale ed economica sarà molto diversa nel secondo caso.

Per cui i numeri sono profondamente sociali. Se così non fosse perché gli studenti ci rimangono così male se prendono 29 anziché 30? Perché i/le docenti, in seduta di laurea, danno a malincuore un 109, considerato quasi una beffa nei confronti della/o studente/ssa?

 

NOTE

[1] D. Bloor, Knowledge and Social Imagery, The University of Chicago Press, 1976 – traduzione italiana in La dimensione sociale della conoscenza, Milano Cortina, 1994

[2] D. Bloor, La dimensione sociale della conoscenza, Milano Cortina, 1994, p. 151

[3] Ibidem, p. 137

[4] Ibidem, p. 152

[5] Essa è una sorta di «dizionario» di interpretazione di sogni (ma a volte anche di situazioni reali), in cui a ciascun vocabolo (persona, oggetto, azione, situazione ecc.) corrisponde un numero da giocare al Lotto. L'origine del termine Smorfia è incerta, ma la spiegazione più frequente è legata al nome di Morfeo, il dio del sonno nell'antica Grecia. Esiste un gran numero di smorfie locali, in uso in altre città.

[6] D. Bloor, La dimensione sociale della conoscenza, Milano Cortina, 1994, p. 170

[7] Ibidem, p. 171

[8] Ibidem, p. 173

[9] Ibidem, p. 174

[10] Ibidem, p. 142

[11] Ibidem, p. 142

[12] Ibidem, p. 157


Che bella equazione! – Il ruolo della bellezza nelle scienze

«My work always tried to unite the true with the beautiful;
but when I had to choose one or the other,
I usually chose the beautiful»[1] (H. Weyl)

 

INTRODUZIONE

L’obiettivo di questo articolo è di riflettere sulla bellezza, una tematica apparentemente semplice e ordinaria ma che si rivelerà, nel corso dell’esposizione, un nucleo problematico da indagare attentamente.

Iniziamo la nostra disamina con una sezione filosofica, per sottolineare che siamo davanti a una questione complessa, che presenta sfumature concettuali profonde e antiche. Successivamente, analizzeremo questo tema da un punto di vista scientifico, con l’intento di mostrare come la bellezza entri a pieno diritto nei discorsi della scienza.

Lo scopo di questo scritto è di decostruire una narrazione ingenua, limitante e simil-scientista, che vede bellezza e scienza come due argomenti lontani e slegati, che non si incontrano mai, come due rette parallele. Mostreremo come tale separazione sia puramente convenzionale, contingente.

 

1. BELLEZZA E FILOSOFIA

In filosofia, l’analisi della bellezza ha origini antiche; questo tema viene indagato dall’estetica, una disciplina filosofica di ampio respiro che abbraccia numerose tesi e nuclei concettuali come, per esempio, «la produzione e i prodotti dell’arte»[2] o «il giudizio di gusto su di essi»[3].

Platone (427 ca.-347 ca. a.C.) sostiene che la bellezza è collegata all’ordine, alla proporzione e all’armonia; inoltre, la descrive come «la manifestazione più evidente del bene che permea tutte le cose»[4].

Nel Simposio, sviluppa l’idea secondo cui la bellezza attragga Eros (Amore), indicato come un “demone”, un’entità semidivina «sospesa fra cielo e terra»[5]; quindi, «l’amore viene stimolato dalla bellezza, […]: essa è il fine dell’amore, ciò verso cui l’amore riversa il suo slancio»[6].

Nel Fedro, inoltre, Platone afferma che la bellezza sensibile permette all’anima di ricordare l’idea di bellezza, perfetta e divina, ammirata prima dell’incarnazione. Pertanto, la bellezza del mondo fisico, nonostante sia molto lontana dalla compiutezza dell’idea, permette che lo spirito si elevi: «uno, al vedere la bellezza di quaggiù, ricordandosi della vera bellezza mette nuove ali»[7].

Per Platone esistono diverse tipologie di bellezza, ognuna delle quali occupa una posizione gerarchica distinta: sul gradino più basso incontriamo la bellezza del corpo mentre in cima troviamo la bellezza in sé, «idea eterna e immutabile di cui partecipano tutte le cose belle, sia fisiche sia spirituali»[8].

Plotino (205 ca.-270 ca. d.C.), figura centrale del neoplatonismo, «approfondisce e sviluppa la riflessione platonica sul bello, esposta nel Fedro e nel Simposio, associando il bello alla perfezione del mondo ideale»[9]; inoltre, questo autore dedica due trattati alla tematica della bellezza e la sua visione viene a volte qualificata come una “metafisica del bello”[10].

Nel testo enneadico Sul bello, in disaccordo con Platone, Plotino critica l’idea della bellezza considerata nei termini di armonia e proporzione delle parti, specificando che essa si trovi invece in qualità e oggetti semplici, poiché «ogni allontanamento dall’unità verso la molteplicità equivale a una perdita di perfezione»[11].

D’altra parte, Plotino condivide con Platone l’idea che la bellezza abbia valore anagogico, quando afferma che la bellezza sensibile è una tappa del percorso di purificazione dell’anima, cammino che la deve portare sempre più in alto nella scala dell’intelligibile: «compito dell’anima è […] di distogliere gradualmente la propria visione da quei corpi che non sono altro che “immagini e tracce e ombre” della vera fonte della bellezza, e, rientrando in sé, risalire verso quell’Uno […] circondato da ogni parte dal Bello, un “Bello che dispensa la bellezza a tutte le cose […]”»[12].

Pertanto, «è […] attraverso Plotino che si comprende come, nell’Antichità in generale, sia sempre più difficile, e spesso arbitrario, separare il problema della bellezza […] dalle costruzioni metafisiche in cui esso si inserisce»[13].

Infine, neanche per Edmund Burke (1729 ca.-1797) il bello può essere determinato secondo le categorie di armonia e proporzione, perché «l’ordine e la convenienza tra le parti sono […] qualità colte dall’intelletto, là dove l’effetto della bellezza è molto più immediato e sensibile»[14].

Burke contrappone la bellezza a un altro concetto, il sublime: la prima genera l’amore, «una passione […] sociale, intersoggettiva»[15], mentre il secondo dà origine al terrore, un’emozione collegata «alla tendenza di ogni individuo alla propria autopreservazione»[16]. Le divergenze, però, non terminano qui, in quanto il bello «nasce dalla visione di cose piccole e delicate, e dal contatto con tutto ciò che è liscio, levigato, sinuoso»[17]; al contrario, il sublime si origina, per esempio, dalla visione di spazi molto ampi (oceani, montagne ecc.) o dal «sentimento dell’infinito»[18].

 

2. SEMIR ZEKI E LA NEUROESTETICA: UNO STUDIO

Il neurobiologo Semir Zeki è ritenuto l’iniziatore della neuroestetica, «un filone di ricerca nell’ambito delle neuroscienze che indaga le basi neurali e cognitive dell’esperienza estetica»[19].

In una sua ricerca, pubblicata nel 2014, un gruppo di matematici doveva esprimere il proprio giudizio estetico rispetto a sessanta equazioni, mentre ne veniva registrata l’attività cerebrale per mezzo della risonanza magnetica funzionale (fMRI). I risultati dell’esperimento hanno mostrato, in particolare, l’attivazione di una specifica area nel cervello dei soggetti analizzati, una zona dove «c’è sempre attività neuronale quando si ha esperienza di bellezza»[20], a prescindere dalla sua fonte (un quadro, un brano musicale, un’equazione ecc.). La regione individuata è connessa alle emozioni e viene indicata come «campo A1 della corteccia orbito-frontale mediale (mOFC)»[21]; specifichiamo inoltre che «più la formula è considerata bella e più intensamente si attiva quest’area»[22].

I risultati dell’esperimento non sorprendono i matematici; per esempio, Colin Adams afferma: «“quando vedo una bellissima costruzione matematica, […], provo la stessa sensazione di quando osservo qualche forma di arte che mi colpisce”»[23]. Gli fa eco Daina Taimina, la quale ritiene che le belle soluzioni matematiche «“suonano come una melodia”»[24].

Infine, l’indagine condotta dal professor Zeki ha rivelato che non tutte le equazioni sono belle allo stesso modo: alcune risultano più attraenti di altre. Infatti, nonostante la soggettività che può intervenire in un qualunque giudizio estetico, i partecipanti alla ricerca hanno mostrato quasi unanimemente la propria preferenza per un’equazione in particolare, l’identità di Eulero[25]:

e + 1 = 0

Secondo Adams, tale formula «“richiede complessivamente non più di sette simboli per essere scritta: è sbalorditivo”»[26]. Per i matematici essa rappresenta «una combinazione irresistibile, perché lega cinque costanti fondamentali con tre operazioni aritmetiche basilari»[27].

 

3. UN «ESTETA DELLA SCIENZA»[28]: PAUL DIRAC E IL “PRINCIPIO DI BELLEZZA MATEMATICA”

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) è uno dei più importanti fisici del Novecento. Nato a Bristol, Nobel per la Fisica nel 1933, tra i suoi numerosi contributi ricordiamo, per esempio, la «sintesi tra relatività speciale e meccanica quantistica»[29]; inoltre, la sua equazione[30]

(ið – m) ψ = 0

ha previsto l’esistenza di una nuova particella, il positrone[31], la cui scoperta empirica ha aperto il mondo dell’antimateria alla fisica contemporanea.

In questo articolo ci concentriamo su una delle sue “credenze fondamentali”, ovvero il «principio di bellezza matematica»[32], un concetto che, per Dirac, detiene «una duplice funzione: di guida euristica e di criterio valutativo»[33]. Cosa si intende con “bellezza matematica”? Lo stesso Dirac, in uno scritto del 1939, specifica che essa non si può spiegare con precisione ma aggiunge che, nel coglierla, «gli studiosi di matematica non hanno alcuna difficoltà»[34].

Convinto che i criteri estetici dirigano la ricerca scientifica, il fisico inglese non esita a difendere la bellezza delle equazioni anche in caso di contrasto con i dati empirici: «è più importante che le equazioni siano belle piuttosto che in accordo con gli esperimenti»[35].

Quando in fisica si deve elaborare una nuova teoria, Dirac sostiene che, prima di tutto, bisogna individuarne l’impalcatura matematica, ma questa scelta deve seguire una direzione precisa: «bisognerebbe lasciarsi guidare da considerazioni di bellezza matematica»[36]; in un testo successivo, scrive che «se si lavora con il proposito di ottenere equazioni dotate di bellezza, e si possiede un’intuizione davvero solida, si è sicuramente sulla strada del progresso»[37]. In caso di reiterato disaccordo tra ipotesi ed esperimenti, per Dirac si può modificare la teoria, purché se ne sviluppi una con struttura matematica di ancora maggior bellezza.

Dirac elogia la relatività di Einstein: secondo lui, la teoria einsteiniana «ha introdotto – in una misura che non ha precedenti – la bellezza matematica nella descrizione della Natura»[38]. Lo scienziato di Bristol sostiene come sia stata proprio la sua bellezza a permettere alla relatività di ottenere credito presso i fisici. Inoltre, Dirac afferma che Einstein «era guidato solo da considerazioni relative alla bellezza delle equazioni»[39], e che «tutto il suo modo di procedere tendeva alla ricerca di una teoria bella»[40].

In uno scritto del 1979, Dirac elenca alcuni esperimenti che hanno confermato la teoria di Einstein, ma a un certo punto si chiede come ci si debba muovere in caso di contrasto fra questa concezione scientifica e le sue verifiche empiriche. Egli rifiuta nettamente l’idea che la relatività possa essere errata, perché «chiunque apprezzi la fondamentale armonia che esiste tra il modo in cui funziona la Natura e alcuni princìpi matematici generali non può non sentire che una teoria di tale bellezza ed eleganza deve essere sostanzialmente corretta»[41], a prescindere dal fatto che essa sia in sintonia (o meno) con le osservazioni.

Dirac – secondo il fisico Freeman Dyson – «“ancor più di Newton e di Einstein, usò il criterio di bellezza come un modo per trovare la verità”»[42].

 

CONCLUSIONI

All’inizio del nostro percorso abbiamo usato l’immagine delle rette parallele per illustrare la concezione da decostruire, quella che considera scienza e bellezza come due argomenti disgiunti. Questo lavoro ha mostrato come, anziché conferire di rette parallele, si dovrebbe parlare invece di una vera e propria rete epistemologica per spiegare gli intrecci e i collegamenti che uniscono impresa scientifica e filosofia estetica.

Scienziati e scienziate sono esseri umani e anche loro hanno bisogno di quella cosa tanto familiare eppure così misteriosa, ovvia e sfuggente allo stesso tempo, che è la bellezza. Può sembrare una banalità, ma la visione odierna della scienza ha offuscato simili ragionamenti, col risultato di farci separare ambiti che si arricchiscono a vicenda, se li facciamo comunicare.

A questo punto della trattazione, al lettore o alla lettrice è forse rimasta in sospeso una domanda fondamentale: “dunque, che cos’è la bellezza matematica?”. Rispondiamo a tale quesito avvalendoci della legge di gravitazione universale di Newton:

 

Dove:
“F” designa la forza d’attrazione,
“G” è la costante di gravitazione universale[43],
“m” indica le masse dei due corpi che dobbiamo considerare,
“d” rappresenta la loro distanza (espressa al quadrato).

Questa formula mostra che la forza d’attrazione gravitazionale tra due corpi aumenta al crescere delle loro masse, mentre diminuisce all’aumentare della loro distanza. Semplice e logico, vero? Anche la chiarezza fa parte del fascino di questa legge fisica.

Perché tale equazione è così bella? Prima di tutto, si trova scritta in una forma compatta ed elegante, senza risultare eccessivamente contorta né dal punto di vista del significato, né tantomeno da quello del significante.

La sua ampia efficacia empirica rende questa formula particolarmente versatile, anche al giorno d’oggi. Essa serve a spiegare fenomeni fisici che valgono sia sul pianeta Terra sia nell’Universo, dal momento che unisce le leggi di Galileo (che riguardano i fenomeni terrestri) con quelle di Keplero (valevoli invece per il macrocosmo); inoltre, grazie a questa legge, «Newton è in grado di inquadrare e spiegare un’amplissima serie di fenomeni, […] riuscendo anche a risolvere una gran quantità di questioni fisiche e astronomiche rimaste fino ad allora senza una risposta adeguata»[44].

Studiare le equazioni matematiche nella loro storicità le rende meno enigmatiche, più attraenti e più “umane”, perché sono umani coloro che le hanno formulate nei secoli, con le loro idee e visioni del mondo.

A tal proposito, sarà curioso sapere che Newton si occupò anche di ambiti che attualmente non rientrano nella scienza ufficiale come, per esempio, l’alchimia; questi interessi possono aver influenzato il lavoro scientifico di questo autore. La sua legge di gravitazione universale è, in un certo senso, “magica”; infatti, tale equazione prevede che due corpi interagiscano senza che ci sia contatto diretto tra loro, un’idea inconcepibile per Cartesio o Leibniz e che Newton stesso faticava ad accettare, ma «la nascose dietro al formalismo matematico con la sua indubbia efficacia»[45]. Al giorno d’oggi, grazie al concetto di “campo”, questo fenomeno ci appare come qualcosa di assodato, ma all’epoca era un’intuizione rivoluzionaria.

Semplicità, chiarezza ed efficacia, insieme alle considerazioni espresse fin qui, concorrono a rendere affascinante un’equazione matematica, ne eliminano quell’impressione di freddo distacco e la trasformano in qualcosa di vivo e appassionante.

Chiediamoci ora: un quadro, un brano musicale, una statua o un’equazione sono davvero entità così diverse? Sono magnifiche espressioni che generano bellezza, un sentimento umano profondo e necessario, che influenza il nostro quotidiano, orienta le nostre scelte e, last but not least, ci fa stare bene.

 

NOTE

[1] Dyson, F. (1956). Obituary of Hermann Weyl. Nature 177, 457–458, citato in: Frontiers | The experience of mathematical beauty and its neural correlates (frontiersin.org)

[2] estetica nell'Enciclopedia Treccani - Treccani

[3] Ibidem.

[4] Ubaldo Nicola, Atlante illustrato di Filosofia, Firenze-Milano, Giunti Editore, 1999-2005, p. 566.

[5] Franco Bertini, Io penso, Bologna, Zanichelli editore, 20222, vol. I, p. 233.

[6] Ibidem.

[7] Platone, Fedro, in Tutte le opere, a cura di E. V. Maltese, premessa di G. Caccia, Roma, Newton Compton editori, 20102, p. 945.

[8] Franco Bertini, op. cit., p. 233.

[9] Riccardo Chiaradonna, Plotino, Roma, Carocci editore, 2009, p. 71. Corsivi dell’autore.

[10] Ibidem.

[11] Paolo D’Angelo et al., Estetica, a cura di E. Franzini e A. Somaini, Milano, Raffaello Cortina Editore, 2002, p. 71.

[12] Ibidem.

[13] Ivi, p. 11.

[14] Ivi, p. 125.

[15] Ibidem.

[16] Ibidem.

[17] Ivi, p. 126.

[18] Ivi, p. 125.

[19] Il senso della mente per la bellezza: intervista con Semir Zeki - Le Scienze

[20] Sesso, bellezza ed equazioni - Il Sole 24 ORE

[21] Ibidem.

[22] La bellezza delle formule matematiche | Lost in Galapagos (corriere.it)

[23] Il senso dei matematici per la bellezza delle equazioni - Le Scienze

[24] Ibidem.

[25] https://sciencecue.it/formula-matematica-identita-eulero/17295/

[26] Il senso dei matematici per la bellezza delle equazioni - Le Scienze

[27] La bellezza delle formule matematiche | Lost in Galapagos (corriere.it)

[28] La fisica tra verità e bellezza - Il Sole 24 ORE

[29] Ibidem.

[30] Questa è la versione corretta, seppur semplificata dell'equazione di Dirac, in cui la derivata parziale è "tagliata" (ð). In notazione più completa può essere scritta così: (iγμμ - m) ψ = 0. La versione popolare (∂ + m) ψ = 0 è errata. Per approfondimenti: https://www.fe.infn.it/~bettoni/particelle/Lezione4-5.pdf

[31] Il positrone è l’antiparticella dell’elettrone; positroni ed elettroni hanno stessa massa e stesso spin, ma le rispettive cariche elettriche sono di segno opposto. Previsto teoricamente da Dirac nel 1928, il positrone è stato scoperto empiricamente da Anderson nel 1932.

[32] Paul A. M. Dirac, La bellezza come metodo, prefazione e a cura di V. Barone, Milano, Indiana Editore, 2013, p. 24.

[33] Ibidem.

[34] Ivi, p. 84

[35] Ivi, p. 104.

[36] Ivi, p. 87.

[37] Ivi, p. 104.

[38] Ivi, p. 84.

[39] Ivi, p. 175.

[40] Ibidem.

[41] Ivi, pp. 174-175. Corsivo dell’autore.

[42] È la matematica, bellezza! - Il Sole 24 ORE

[43] 6,67⋅10-11N⋅m2kg-2

[44] Newton in "Enciclopedia della Matematica" - Treccani

[45] Entanglement quantistico e viaggi nel tempo? - Controversie

 

BIBLIOGRAFIA

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Matematica, filosofia e poetica della frattalità

Il matematico polacco Benoît Mandelbrot (1924-2010) diede per la prima volta nel 1975 una definizione della figura frattale: dall’aggettivo latino fractus, interrotto o irregolare, “frattale” designa un insieme di figure descrivibili dall’esterno ricorrendo a un insieme di proprietà geometrico-matematiche.

La figura frattale è internamente omotetica, le parti assomigliano al tutto. La sua dimensione non è necessariamente intera: un punto in geometria euclidea è di dimensione pari a 0, una linea pari a 1, una superficie pari a 2 e così via. La dimensione frattale può essere un numero frazionario, un numero irrazionale…

È frattale il cavolo romano, è frattale la curva di Koch (Fig. 1),[1] è frattale il gomitolo di lana, a “metà strada” tra la dimensione euclidea di una linea mono dimensionale (la corda di lana) e la dimensione euclidea di un volume (la sfera del gomitolo).[2]

Fig.1

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Quando nasce il concetto di frattale?

Due acerrimi critici della sociologia della scienza come Alan Sokal e Jean Bricmont non hanno avuto dubbi: la frattalità fa parte del dominio delle matematiche. Di conseguenza, se le discipline umanistiche se ne sono appropriate ne hanno perpetrato un “reiterato abuso”.[3]

Teniamoci però a debita distanza: il padre dei frattali - al tempo - si definì “un vagabondo della scienza”.[4] Forse, il 1975 rappresenta una data troppo recente per poterci orientare. Mandelbrot rispose innanzitutto ad un’insufficienza della geometria, fino ad allora “troppo regolare e troppo fredda” per descrivere le insenature di una costa,[5] o i profili plastici e multiformi di una nuvola.[6]

Dove inizia questo vagabondaggio?

È il matematico polacco stesso a chiamare direttamente in causa un passato recondito.

In una lettera del 1695, Leibniz dichiarava a Bernoulli la possibilità di sviluppare una serie infinita mediante l’applicazione di un esponente frazionario a una base differenziale (d/dx)KF, così da “produrre una progressione geometrica, […] un’analogia meravigliosa”.[7]

Altrove, Leibniz fornisce una concezione teofanica e cosmologica della scalarità frattale: non solo è infinita la materia in perenne flusso in un mondo altrettanto infinito, ma sono infinite anche le anime e ciascuna “è uno specchio vivente perpetuo dell’universo”.[8] Ogni anima include l’intera serie del mondo che rispecchia dal proprio punto di vista, ogni punto di vista include oscuramente ogni altro. Sempre il filosofo tedesco, guardando per la prima volta nel microscopio progettato da Antonie van Leeuwenhoek (1632-1723) si meravigliò della qualità frattale degli organismi: “c’è un mondo di creature - di esseri viventi e di animali, di entelechie e di anime - anche nella più piccola porzione di materia”.[9]

Paolo Portoghesi (1931-2023) fu tra i primi a cogliere la profonda analogia tra le ricerche de Gli oggetti frattali e le architetture della sua amata Roma.[10]

A sua volta, Gilles Deleuze (1925-1995) ha avuto il merito di situare il Barocco a lato di Leibniz, in prossimità di Mandelbrot: l’architettura barocca si sviluppa passando “attraverso un numero infinito di punti angolosi, […] è la curva di Koch”.[11] Si pensi alle ipnotiche geometrie del Borromini (1599-1667) in Sant’Ivo alla Sapienza, alla cappella della Sacra Sindone del duomo di Torino progettata da padre Guarino Guarini (1624-1683) (Fig.2), all’utilizzo del bugnato con la sua qualità cavernosa.

Fig. 2

Possiamo andare ancora più in là, scorgere una qualità frattale nel radicale principio di pienezza di Giordano Bruno (1548-1600) o nei rapporti di autosimilarità astrologica che innervano le analogie micro e macro cosmiche dell’epoca rinascimentale.

Ancora, potremmo procedere a ritroso sino alle geometrie dell’architettura islamica,[12] come nei motivi decorativi dei “Muqarna” (مقرنص) (fig.3), oppure nel tempio di Brihadeshwara in India (fig.4).

Fig. 3

Fig. 4

Guardando alla storia dei giardini ritroviamo un doppia correlazione omotetica: è frattale la morfologia vegetale (le nervature delle foglie), ma qualcosa di frattale struttura le complesse razionalizzazioni arboree dell’orto botanico di Padova costruito nel 1545 (fig. 5),[13] oppure i giardini cinesi e giapponesi in cui la morfologia del paesaggio “in miniatura” dovrebbe rispecchiare il buon ordine del cosmo.[14]


Fig. 5

Cosa fare di tutta questa casistica? Imitazione della natura o sforzo descrittivo? Puro fatto artistico-espressivo? Cimeli di un passato incommensurabile?

Mandelbrot fu capace di sistematizzare sotto un unico nome un “museo degli orrori”[15]: la curva di Peano (fig.6) che passa per tutti i punti di un quadrato - paradosso di una superficie finita racchiusa da un perimetro infinito; la polvere di Cantor; le intuizioni di Jean Perrin che nel 1913 parlava di “curve senza tangente”.[16]

Fig. 6

Da allora la matematica frattale si è sviluppata in ogni direzione: nello studio delle fluttuazioni finanziare e nell’analisi dei dati biochimici, nella modellazione di fenomeni complessi e, non ultimo, nello sviluppo della Chaos theory a cui Henri Poincaré (1854-1912) diede un impulso fondamentale.

Dove collocare quel “reiterato abuso” dei concetti matematici a cui ci siamo precedentemente richiamati?

Si osservi ciò che scrivono Deleuze e Guattari in Mille piani (1980): l’interdimensionalità non è soltanto l’indicatore della dimensione non intera delle figure frattali, ma è anche segno di un divenire, di qualcosa che si muove tra i piani, una “zona di indiscernibilità propria del ‘divenire’”.[17] Un “tra” in cui la variazione prende vita: tutto ciò che è frattale sembra vivere e germogliare.

Parafrasando il matematico italiano Ernesto Cesaro (1859-1906), si potrebbe dire che la curva di Koch, se fosse viva, rinascerebbe in ogni punto dalle sue profondità.[18]

Le figure frattali hanno tuttavia un limite di scala, non vanno dall’infinitamente grande all’infinitamente piccolo: è una legge matematico-empirica che i due filosofi francesi sembrano violare apertamente.[19] È ciò che spinse Sokal e Bricmont ad affermare che la filosofia non aveva compreso il concetto.

Eppure, per un altro verso, Deleuze e Guattari ripropongono con un’espressione nuova le leggi imposte da Leibniz quasi tre secoli prima: l’anima è specchio dell’universo, ma si percepisce soltanto interamente come ininterrotta variazione metamorfica, rispecchiamento in perpetuo divenire dell’universo sin nelle sue più intime e infinite fibre.

É come l’esempio del movimento della mano proposto da Henri Bergson (1859-1941) ne L’evoluzione creatrice (1941): esternamente appare come figura (meccanicismo) o progetto (finalismo), ma a entrambe le visioni “manca l’essenziale: il divenire”.[20] Per Deleuze e Guattari è la rivendicazione di uno spazio dove al predominio della geometria euclidea si sostituisce l’imprevedibile variabilità della Natura, qualcosa di essenzialmente generativo. Pascal, navigando angosciosamente tra l’infinitamente grande e l’infinitamente piccolo, negava a sua volta le leggi imposte dalle vecchie corrispondenze simboliche micro e macro cosmiche a base di un solo infinito trascendente; Bruno contravveniva apertamente a una vecchia questio della scolastica secondo cui una creatura infinita era, per ciò stesso, contraddittoria.

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Dove arrestare questa violazione delle leggi determinate da ciascuna concettualizzazione?

C’è qualcosa di poetico, come scrive Franco Bifo Berardi: bisogna “far scivolare oltre il sistema stabilito dello scambio simbolico”.[21]

È proprio il filosofo italiano ad aver di recente risignificato la frattalità: segno sinistro - ma pur sempre segno - della frattalizzazione dei mercati e dello spazio pubblico (le bolle di cui si è tanto parlato non sono forse frattali?).

Riappare così l’ineliminabile figura di Leibniz: padre del contemporaneo panlogicismo metastabile e autovariante,[22] Berardi osserva che “gli individui sono frammenti di tempo precari, frattali uniformati dal processo di ricombinazione ininterrotta. […] il frattale automatizzato è il significato profondo dell’individualismo neoliberale”.[23]

Michel Serres (1930-2019), formatosi anch’egli su Leibniz, ha dato un nome a questo produttivo slittamento di principi, a questa non-regola dell’intromissione che sembra regnare anche nella storia della frattalità: parassitismo.[24]

Non dovrebbe sorprendere che anche il parassita sia frattale, è a un tempo parassitario e parassitato. Ed è sempre Michel Serres a chiedere: il parassita genera o corrompe il sistema?[25]

 

NOTE

[1] B. Mandelbrot, Gli oggetti frattali (1975), pp. 7-8. La curva di Kock è di dimensione=1,261859.

[2] B. Mandelbrot, The fractal geometry of nature, W. H. Freedman and company, San Francisco 1982, p. 404, p. 10.

[3] A. Sokal, J. Bricmont, Imposture intellettuali (1997), tr. it. F. Acerbi, M. Ugaglia, Garzanti, Milano 1999, p. 18.

[4] P. Portoghesi, Poesia della curva, Gangemi editore, Roma 2020, p. 61.

[5] B. Mandelbrot, Gli oggetti frattali, cit., pp. 21-44.

[6] B. Mandelbrot, The fractal geometry of nature, cit., p. 1.

[7] Ivi., p. 404.

[8] G. W. Leibniz, Monadologia (1720), tr. it. S. Cariati, Bompiani, Firenze 2017, p. 85, §56.

[9] Ivi, p. 89, §66.

[10] Si veda P. Portoghesi, Poesia della curva, cit., pp. 61-69.

[11] G. Deleuze, La piega (1988), tr. it. D. Tarizzo, Giulio Einaudi editore, Torino 1990, pp. 26-27. Per Irénée Scalbert anche l’arte gotica è contraddistinta da un principio di autosimilarità, si veda The nature of Gothic, AA Files, n. 72 (2016), pp. 73-77, 79-91, 93-95.

[12] P. Portoghesi, Poesia della curva, p. 62.

[13] Immagine tratta da L’invenzione del giardino occidentale, p. 56.

[14] Si veda P. Grimal, L’arte dei giardini (1974), Donzelli 2000, pp. 91-100.

[15] Mandelbrot, Gli oggetti frattali, cit., p. 01.

[16] Mandelbrot, 1977, The fractal geometry of nature, cit., p. 07.

[17] G. Deleuze, F. Guattari, Mille piani, p. 666. A p. 664,: “gli oggetti frattali” sono insiemi il cui numero di dimensioni è frazionario, non intero oppure intero, ma con variazione continua di direzione”. Mandelbrot scrive ne Gli oggetti frattali, p. 16, “là dove finora non si vedevano oche zone di transizione, […] io identifico delle zone frattali”.

[18] Si veda P. Portoghesi, Poesia della curva, cit., p. 64.

[19] Si veda B. Mandelbrot, The fractal geometry of nature, p. 783 e Gli oggetti frattali, pp. 21-44.

[20] H. Bergson, L’evoluzione creatrice, 1941, p. 81. Un esempio degno di nota è proposto da Tim Ingold in Siamo linee, p. 62, dove scrive che “il suolo, nella sua infinita varietà, ha una qualità frattale”.

[21] F. Bifo Berardi, Respirare, Luca Sossella editore, Roma 2019, p. 20.

[22] Ivi, p. 63.

[23] Ivi, p. 77.

[24] M. Serres, Il parassita (1980), a cura di G. Polizzi, Mimesis edizioni, Milano 2022.

[25] Ivi, p. 40.

 

BIBLIOGRAFIA

  • Bergson, H., L’evoluzione creatrice (1941), tr. it. F. Polidori, Raffaello Cortina editore, Milano 2002.
  • Bifo Berardi, F., Respirare, Luca Sossella editore, Roma 2019.
  • Deleuze, G., Guattari, F., Mille piani (1980), tr. it. G. Passerone, Orthotes, Napoli-Salerno 2017.
  • Deleuze, G., La piega (1988), tr. it. D. Tarizzo, Giulio Einaudi editore, Torino 1990
  • Grimal, P., L’arte dei giardini (1974), tr. it. M. Magi, Donzelli editore, Roma, 2000.
  • Ingold, T., Siamo linee (2015), it. D. Cavallini, Giovanni Treccani, Roma 2020
  • Leibniz, G., W., Monadologia (1720), tr. it. S. Cariati, Bompiani, Firenze 2017.
  • Mandelbrot, Benoît, “Is nature Fractal?”, Science, 1998, vol. 279, n. 5352, pp. 783-786.
  • Mandelbrot, B., Gli oggetti frattali (1975), a cur di R. Pignoni, Giulio Einaudi editore, Torino 2000.
  • Portoghesi, P., Poesia della curva, Gangemi editore, Roma 2020.
  • Scalbert, I., The nature of Gothic, AA Files, n. 72 (2016), pp. 73-77, 79-91, 93-95.
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  • Sokal, , Bricmont, J., Imposture intellettuali (1997), tr. it. F. Acerbi, M. Ugaglia, Garzanti, Milano 1999.
  • Vercelloni, M., Vercelloni, V., L’invenzione del giardino occidentale, Jaca Book, Firenze 2019.